Από τις αστραπές και τους κεραυνούς ως τα μικροτσίπ και από τις ακτογραμμές ως τους καρκινικούς όγκους, η γεωμετρία των φράκταλ φαίνεται ότι κυριαρχεί στον κόσμο μας. Η κατανόηση των ιδιαιτεροτήτων της μπορεί να λύσει πολλά από τα καθημερινά μας προβλήματα.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Fractals: η «πραγματική» γεωμετρία του κόσμου Από τις αστραπές και τους κεραυνούς ως τα μικροτσίπ και από τις ακτογραμμές ως τους καρκινικούς όγκους, η γεωμετρία των φράκταλ φαίνεται ότι κυριαρχεί στον κόσμο μας. Η κατανόηση των ιδιαιτεροτήτων της μπορεί να λύσει πολλά από τα καθημερινά μας προβλήματα. Οι κεραυνοί που ζωντανεύουν το νέφος του ηφαιστείου Τσαϊτέν στη Χιλή.
Από τη γεωμετρία του σχολείου μάθαμε ότι στον κόσμο γύρω μας υπάρχουν αντικείμενα που έχουν μία, δύο ή τρεις διαστάσεις, είναι δηλαδή είτε γραμμές είτε επιφάνειες είτε στερεά σώματα. Η πραγματικότητα όμως είναι πολύ πιο σύνθετη, αφού στη φύση συναντάμε αντικείμενα που δεν είναι δυνατό να περιγραφούν με την παραπάνω απλοποιημένη μορφή της γεωμετρίας.
Τα μορφοκλασματικά σύνολα (ή φράκταλς, όπως είναι ευρύτερα γνωστά) εισήχθησαν τις τελευταίες δεκαετίες στα σύγχρονα μαθηματικά για να καλύψουν αυτό ακριβώς το κενό.
Μέχρι σήμερα η έρευνα σε αυτόν τον νέο κλάδο των μαθηματικών είχε επικεντρωθεί στη μελέτη των ιδιοτήτων των φράκταλς που έχουν ήδη δημιουργηθεί, ενώ στις εφαρμοσμένες θετικές επιστήμες εξίσου μεγάλο ενδιαφέρον έχει και η διαδικασία δημιουργίας τους.
Πρόσφατα δημοσιεύθηκαν τα αποτελέσματα μιας επιστημονικής εργασίας του Ισπανού μαθηματικού Κάρλος Εσκουντέρο, ο οποίος επικέντρωσε ακριβώς στη διαδικασία δημιουργίας φρακταλικών αντικειμένων που μπορεί να θεωρηθεί ότι περιγράφουν την ανάπτυξη καρκινικών όγκων και μικροτσίπ.
Η γεωμετρική διάσταση ενός αντικειμένου μπορεί να βρεθεί από το πλήθος των αριθμών που χρειάζονται για να καθορίσουμε τη θέση ενός σημείου του αντικειμένου αυτού. Σε μια γραμμή αρκεί ένας αριθμός για να καθορίσουμε τη θέση μας σε αυτήν, συνήθως η απόσταση από κάποια «αρχή».
Έτσι η γραμμή έχει μία διάσταση. Παράδειγμα: η θέση μας σε έναν συγκεκριμένο δρόμο καθορίζεται με τη χιλιομετρική απόσταση από μια πόλη. Για τον καθορισμό της θέσης μας σε μια επιφάνεια χρειάζονται δύο αριθμοί, οπότε η επιφάνεια έχει δύο διαστάσεις.
Παράδειγμα: στην επιφάνεια της Γης καθορίζουμε τη θέση μας με το γεωγραφικό μήκος και το γεωγραφικό πλάτος. Όμως υπάρχουν γεωμετρικά αντικείμενα όπου τα πράγματα δεν είναι τόσο ξεκάθαρα.
Για παράδειγμα εδώ και περισσότερο από 100 χρόνια οι μαθηματικοί είχαν φανταστεί γραμμές που είναι τόσο πυκνά διατεταγμένες σε ένα επίπεδο, ώστε έχουν διάσταση μεγαλύτερη από 1, δηλαδή είναι «κάτι παραπάνω» από γραμμές, αλλά μικρότερη από 2, δηλαδή είναι «κάτι λιγότερο» από επιφάνεια.
Τα αντικείμενα αυτά ονομάζονται «μορφοκλασματικά σύνολα» (fractals) και η διάστασή τους είναι κλασματικός και όχι ακέραιος αριθμός. Έτσι ένα φράκταλ με διάσταση 1,1 θα μπορούσε να θεωρηθεί ως μια «τραχιά» μορφή γραμμής, ενώ ένα με διάσταση 2,3 θα μπορούσε να θεωρηθεί ως μια «τραχιά» μορφή επιφάνειας.
Στη φύση εμφανίζονται αντικείμενα με ιδιότητες φράκταλ σε πάρα πολλές περιπτώσεις. Περισσότερο εμφανή και γνωστά παραδείγματα είναι οι ακτές των νησιών, οι κεραυνοί και οι αστραπές, καθώς και τα συστήματα των αιμοφόρων αγγείων και των αεροφόρων οδών στα θηλαστικά.
Η αρχή της αυτοομοιότητας
Το βασικό χαρακτηριστικό των φράκταλς είναι η αυτοομοιότητα, η ιδιότητα δηλαδή όπου η μεγέθυνση μιας μικρής περιοχής του αντικειμένου δίνει ένα σχήμα ίδιο με το αρχικό, και η διαδικασία αυτή μπορεί να συνεχιστεί σε ολοένα μικρότερες κλίμακες.
Η ιδιότητα αυτή κάνει τα μορφοκλασματικά σύνολα να είναι τα περισσότερο «ανώμαλα» γεωμετρικά αντικείμενα, τόσο «ανώμαλα» ώστε δεν είναι δυνατό να περιγραφούν με την κλασική γεωμετρία που μαθαίνουμε στο σχολείο.
Αυτή όμως είναι η ιδανική εικόνα που έχει ένας μαθηματικός, ενώ ένας φυσικός βλέπει την κατάσταση με διαφορετικό πρίσμα.
Γι’ αυτόν ένα αντικείμενο δημιουργείται βαθμιαία: ξεκινάει από έναν μικρό «πυρήνα» και βήμα βήμα αναπτύσσεται, έως ότου φθάσει στις διαστάσεις και στη μορφή που παρατηρούμε τελικά. Επομένως οι φράκταλ ιδιότητες ενός φυσικού αντικειμένου είναι στενά συνδεδεμένες με τη διαδικασία της δημιουργίας του.
Μια εφαρμογή αυτής της εικόνας, με μεγάλο ενδιαφέρον στη βιομηχανία ολοκληρωμένων κυκλωμάτων (δηλαδή μικροτσίπ), είναι η ανάπτυξη ημιαγωγών με τη διαδικασία της διαδοχικής εναπόθεσης λεπτών υμενίων.
Κανονικά θα περίμενε κανείς η επιφάνεια του ημιαγωγού να είναι επίπεδη μετά την κάθε εναπόθεση, όμως πολλές φορές στην πράξη είναι «τραχιά» και παρουσιάζει ιδιότητες φράκταλ.
Αιτία είναι η δημιουργία, στην αρχή της διαδικασίας, κάποιων μικρών ατελειών που δημιουργούν «σφαιρικές» ανωμαλίες, οι οποίες στη συνέχεια αναπτύσσονται ταχύτερα από την επίπεδη επιφάνεια.
Το αποτέλεσμα είναι η τελική κατασκευή ενός ημιαγωγού με ανωμαλίες σε ολοένα μικρότερη κλίμακα, ο οποίος δεν είναι κατάλληλος για την κατασκευή ενός μικροτσίπ.
Αν γνωρίζαμε την επίδραση της γεωμετρίας αυτών των ατελειών στην ανάπτυξη του ημιαγωγού, θα μπορούσαμε να επινοήσουμε μεθόδους αποφυγής της, με αποτέλεσμα σημαντική οικονομία από τον περιορισμό του αριθμού των «ελαττωματικών» προϊόντων.
Άλλες ενδιαφέρουσες εφαρμογές, αυτή τη φορά στη βιολογία, είναι η πειραματική ανάπτυξη καρκινικών όγκων γύρω από σφαιροειδείς καρκινικούς πυρήνες καθώς και η ανάπτυξη αποικιών βακτηριδίων ή μυκήτων γύρω από έναν αρχικό πυρήνα επιμόλυνσης.
Στις περιπτώσεις αυτές έχει παρατηρηθεί ότι τελικά οι όγκοι και οι αποικίες έχουν – και αυτοί – ιδιότητες φράκταλ.
Η σημασία της επιφάνειας
Το κοινό σημείο όλων των παραπάνω περιπτώσεων είναι το γεγονός ότι η ανάπτυξη του φράκταλ αντικειμένου συνδέεται στενά με το είδος της επιφάνειας πάνω στο οποίο αναπτύσσεται.
Επομένως οι μέθοδοι που θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε για να πετύχουμε «καλές» επιφανειακές ιδιότητες, στην περίπτωση των ημιαγωγών, ή «μικρή» ταχύτητα ανάπτυξης, στην περίπτωση της βιολογίας, θα πρέπει να ξεκινούν από την κατανόηση ότι η μορφή της αρχικής επιφάνειας, γύρω από την οποία αναπτύσσεται το τελικό αντικείμενο, παίζει πρωταρχικό ρόλο στην τελική μορφή τού αντικειμένου και στην ταχύτητα ανάπτυξής του.
Η θεωρητική δουλειά του Εσκουντέρο έδειξε ακριβώς ότι η ανάπτυξη ενός φράκταλ πάνω σε μια σφαιρική επιφάνεια δίνει εντελώς διαφορετικά αποτελέσματα απ’ ό,τι η ανάπτυξη επάνω σε μια επίπεδη. Υπάρχουν βάσιμες ελπίδες ότι η νέα αυτή αντίληψη θα βρει σύντομα εφαρμογή στην τεχνολογία και στην ιατρική.
Ο κ. Χ. Βάρβογλης είναι καθηγητής του Τμήματος
Φυσικής του ΑΠΘ.
Δεν υπάρχουν σχόλια:
Δημοσίευση σχολίου